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Estudiar la continuidad de las siguientes funciones

Estudiar la continuidad de las siguientes funciones

Cómo comprobar la continuidad de una función en un punto

Continuamos con el patrón que hemos establecido en este texto: después de definir un nuevo tipo de función, le aplicamos ideas de cálculo. En la sección anterior se definieron funciones de dos y tres variables; en esta sección se investiga qué significa que estas funciones sean “continuas”.

Comenzamos con una serie de definiciones. Estamos acostumbrados a los “intervalos abiertos”, como \((1,3)\Nque representa el conjunto de todos los \N(x\) tales que \N(1<x<3\), y a los “intervalos cerrados”, como \([1,3]\Nque representa el conjunto de todos los \N(x\) tales que \N(1\leq x\leq 3\). Necesitamos definiciones análogas para los conjuntos abiertos y cerrados en el plano \(x\)-(y\).

Sea \(S\) un conjunto de puntos en \(\mathbb{R}^2\). Un punto \(P\) en \(\mathbb{R}^2\) es un punto límite de \(S\) si todos los discos abiertos centrados en \(P\) contienen tanto puntos en \(S\) como puntos que no están en \(S\).

En la figura 12.7 se muestran varios conjuntos en el plano \(x\)-\ y(y\). En cada conjunto, el punto \(P_1\) se encuentra en la frontera del conjunto, ya que todos los discos abiertos centrados en él contienen tanto puntos en el conjunto como no. Por el contrario, el punto \(P_2\) es un punto interior ya que hay un disco abierto centrado en él que se encuentra completamente dentro del conjunto.

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Cómo comprobar la continuidad de una función en un intervalo

Mientras estudiaba cálculo, he leído sobre las funciones continuas pero todavía no he podido averiguar cuál es la importancia del concepto, me imagino que el concepto (y también el concepto de continuidad) puede tener su importancia en el cálculo y también en algunas ramas de las matemáticas superiores – Si no me equivoco, he visto la continuidad en algún libro de topología.

Un uso que se les da es en matemáticas aplicadas cuando se utilizan métodos numéricos para aproximar un valor utilizando el Teorema de Taylor, que sólo funciona para funciones diferenciables de orden $k^{th}$. Si una función fuera discontinua, el Teorema de Taylor podría fallar.

La importancia de la continuidad se explica más fácilmente por el Teorema del Valor Intermedio: Dice que, si una función continua toma un valor positivo en un punto, y un valor negativo en otro punto, entonces debe tomar el valor cero en algún punto intermedio.

Cómo comprobar la continuidad de una función f(x y)

Muchas funciones tienen la propiedad de que sus gráficas se pueden trazar con un lápiz sin levantar el lápiz de la página. Estas funciones se llaman continuas. Otras funciones tienen puntos en los que se produce una ruptura en la gráfica, pero satisfacen esta propiedad sobre intervalos contenidos en sus dominios. Son continuas en estos intervalos y se dice que tienen una discontinuidad en un punto donde se produce una ruptura.

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Comenzamos nuestra investigación sobre la continuidad explorando qué significa que una función tenga continuidad en un punto. Intuitivamente, una función es continua en un punto concreto si no hay ninguna ruptura en su gráfica en ese punto.

Antes de estudiar una definición formal de lo que significa que una función sea continua en un punto, vamos a considerar varias funciones que no cumplen nuestra noción intuitiva de lo que significa ser continua en un punto. A continuación, creamos una lista de condiciones que evitan esos fallos.

Sin embargo, como vemos en la (Figura), esta condición por sí sola es insuficiente para garantizar la continuidad en el punto . Aunque está definida, la función tiene un hueco en . En este ejemplo, la brecha existe porque no existe. Debemos añadir otra condición para la continuidad en -a saber,

Continuidad de una función en un punto definición

Parece que estás en un dispositivo con un ancho de pantalla “estrecho” (es decir, probablemente estás en un teléfono móvil). Debido a la naturaleza de las matemáticas en este sitio es mejor verlas en modo horizontal. Si su dispositivo no está en modo apaisado, muchas de las ecuaciones saldrán por el lado del dispositivo (debería poder desplazarse para verlas) y algunos de los elementos del menú quedarán cortados debido al estrecho ancho de la pantalla.

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A lo largo de las últimas secciones hemos estado utilizando el término “suficientemente agradable” para definir aquellas funciones cuyos límites podríamos evaluar simplemente evaluando la función en el punto en cuestión. Ahora es el momento de definir formalmente lo que queremos decir con “suficientemente agradable”.

Obsérvese que esta definición también está suponiendo implícitamente que tanto \N(f\a izquierda( a \a derecha)\Ncomo \N(\Nmathop {{lim }\a} f\a izquierda( x \a derecha)\Nexisten. Si alguno de ellos no existe, la función no será continua en \(x = a\).

\Si no existe ninguna de ellas, la función no será continua en x = a. 5in} {mathop {lim }limits_{x \}a {a^ – }} f\left( x \right) = f\left( a \right)\hspace{0.5in} {mathop {lim }limits_{x \\}a {a^ + }} f\left( x \right) = f\left( a \right)\}

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